Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムのほとんどの数値が非常に小さいことですが、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めてしまうことです。元の値自体が非常に小さいにもかかわらずです。この問題を解決するために、領域のサイズを縮小することが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディング幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディング幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディング幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディング幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、バイナリフィールドはビットに直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、これは第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進法体の研究は1980年代にさかのぼります。現在、二進法体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては次のものがあります：

• 高度な暗号化標準(AES)、F28フィールドに基づく；

• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128フィールドに基づいて；

• QRコード、F28に基づいたリード・ソロモン符号を使用；

• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さな体を使用する場合、拡張体の操作は安全性を確保するためにますます重要になります。そして、Biniusが使用する二項体は、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張体に入る必要がなく、基体の下で操作するだけで済み、小さな体で高効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

二進法の領域に基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際の問題があります。STARKsにおいてトレース表示を計算する際に使用する領域のサイズは、多項式の階数よりも大きい必要があります。また、STARKsにおけるマークルツリーのコミットメントでは、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用する領域のサイズは符号化拡張後のサイズよりも大きい必要があります。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、これを「超立方体」（hypercubes）上での値を用いて全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）と見なし、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、コーディング効率と計算性能を大幅に向上させました。

2 原理分析

現在、多くのSNARKsシステムの構築は通常、以下の2つの部分を含みます：

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証することができます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法に違いがあるため、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールであり、証明者は特定の多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができる一方で、多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性および適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線を組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば：

• Halo2：PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、および安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率だけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二項体は、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因します：効率的な計算と効率的な代数化です。二項体は本質的に非常に効率的な算術演算をサポートしており、性能要求に敏感な暗号学アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、二項体の構造は簡略化された代数化プロセスをサポートし、二項体上で実行される演算はコンパクトで検証しやすい代数形式で表示できます。これらの特性に加え、タワー構造を活用してその階層的な特性を十分に利用できるため、二項体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビットの中に含まれますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを持っています。素数フィールドFpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、Mersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限フィールドに対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的な還元方法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的還元（Towerのようなもの）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』では、バイナリーフィールドは加算と乗算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、(X + Y )2 = X2 + Y 2という簡略化された規則に従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドの中のユニークな要素として考えられるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることができます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、単にビット文字列の型変換（typecast）であり、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させました。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』は、nビットのタワー型バイナリフィールド（mビットのサブフィールドに分解可能）における乗算、平方、逆算の計算の複雑さについて探討しています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するために一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには以下が含まれます：

1. GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路の計算関係C(x,ω)=0を満たすかどうかを検証し、回路が正しく動作することを確認します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π(x))。

3. LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck：二つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈Hであり、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上で評価される値がある主張された値∏x∈Hµ f(x) = sと等しいかどうかを検査し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck：任意の点がブール超立方体の上でゼロであるかどうかを検証する多変数多項式∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ、多項式のゼロ点分布を保証するために。

7. SumCheck：多変数多項式の合計値が声明された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑性を低下させます。さらに、SumCheckはランダム数を導入することで、複数の合計チェックのインスタンスをバッチ処理するための線形結合を構築することを可能にします。

8. BatchCheck：SumCheckに基づき、複数の多変数多項式の評価の正しさを検証して、プロトコルの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改善を行っています：

• ProductCheckの最適化：HyperPlonkでは、ProductCheckは超立方体上で分母Uが常に非ゼロであることを要求し、積は特定の値に等しくなければなりません；Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを軽減しました。

• ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ性を断言できませんでした；Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであってもBiniusのProductCheckは処理を続行でき、任意の積の値への拡張を許可します。

• 列間PermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能がありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改良することによって、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しています。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来の二進法領域に基づく証明システムの基盤を築くものです。

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2.3 PIOP：新しいマルチリニアシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルにおいて、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です：

• Packing：この方法は、辞書順で隣接する位置の小さい要素を使用します。